题目描述

给你一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。

示例 1：

输入：s = "babad"输出："bab"解释："aba" 同样是符合题意的答案。

示例 2：

输入：s = "cbbd"输出："bb"

示例 3：

输入：s = "a"输出："a"

示例 4：

输入：s = "ac"输出："a"

提示：

1 <= s.length <= 1000s 仅由数字和英文字母（大写和/或小写）组成

解题思路

动态规划

对于一个子串而言，如果它是回文串，并且长度大于 2，那么将它首尾的两个字母去除之后，它仍然是个回文串。例如对于字符串 “ababa”，如果我们已经知道 “bab” 是回文串，那么 “ababa” 一定是回文串，这是因为它的首尾两个字母都是 “a”。

根据这样的思路，我们就可以用动态规划的方法解决本题。我们用 P(i,j) 表示字符串 s 的第 i 到 j 个字母组成的串（下文表示成 s[i:j]）是否为回文串：

$=\left\{ \begin{array}{lcl} true & & {如果子串S_i...S_j是回文串}\\ false & & {其他情况} \end{array} \right.$

truefalse如果子串Si...Sj是回文串其他情况

这里的「其它情况」包含两种可能性：

s[i,j] 本身不是一个回文串；

i>j，此时 s[i,j] 本身不合法。

那么我们就可以写出动态规划的状态转移方程：

$P(i,j)=P(i+1,j−1)∧(S_i == S_j)$

也就是说，只有 s[i+1:j−1] 是回文串，并且 s 的第 i 和 j 个字母相同时，s[i:j] 才会是回文串。

上文的所有讨论是建立在子串长度大于 2 的前提之上的，我们还需要考虑动态规划中的边界条件，即子串的长度为 1 或 2。对于长度为 1 的子串，它显然是个回文串；对于长度为 2 的子串，只要它的两个字母相同，它就是一个回文串。因此我们就可以写出动态规划的边界条件：

\left\{ \begin{array}{lcl} P(i,i) = true \\ P(i,i+1) = (S_i == S_{i+1}) \end{array} \right.

根据这个思路，我们就可以完成动态规划了，最终的答案即为所有 P(i,j)=true 中 j−i+1（即子串长度）的最大值。注意：在状态转移方程中，我们是从长度较短的字符串向长度较长的字符串进行转移的，因此一定要注意动态规划的循环顺序。

class Solution {
       public String longestPalindrome(String s) {
           int len = s.length();        int maxLen = 1;        int begin = 0;        boolean[][] dp = new boolean[len][len];        for (int i = 0;i < len;i++) {
               dp[i][i] = true;        }        for (int L = 2;L <= len;L++) {
               for (int i = 0;i < len;i++) {
                   int j = i + L - 1;                if (j >= len) break;                if (s.charAt(i) != s.charAt(j)) {
                       dp[i][j] = false;                } else {
                       if (L < 3) {
                           dp[i][j] = true;                    } else {
                           dp[i][j] = dp[i+1][j-1];                    }                }                if (dp[i][j] && maxLen < L) {
                       maxLen = L;                    begin = i;                }            }        }        return s.substring(begin,begin+maxLen);    }}

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